Note

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Aufgabe 1

Gegeben ist folgendes Optimierungsproblem:

\[ \underset{x \in \mathbb{R}^2}{\min}~(x_1 - 3)^2 + (x_2 - 1)^2,~s.t.~\begin{cases} & \text{ } x_1 + x_2 \leq 1 \\ & \text{ } x_1 - x_2 \leq 1 \\ & \text{} -x_1 + x_2 \leq 1 \\ & \text{} -x_1 - x_2 \leq 1 \end{cases} \]

  • Für diese Aufgabe brauchen Sie nichts zu programmieren. Lösen und dokumentieren Sie die nachfolgenden Schritte auf einem Blatt Papier oder in Latex.
  • Machen Sie eine Skizze des erlaubten Suchraums.
  • Berechnen Sie für verschiedene Punkte P1(0|0), P2(1|0), P3(0|1), P4(-0.5|-0.5), P5(0.5|0.5) des Suchraums den Gradienten der Funktion und dessen Betrag. Zeichnen Sie den Gradienten in die Skizze ein.
  • Wo befindet sich das Minimum der Funktion ohne Nebenbedingungen? Ist es innerhalb des Suchraums?
  • In welchem Punkt \((x_1^*, x_2^*)\) aus dem Suchraum ist die Funktion minimal? Es ist ausreichend, dies anhand der Skizze zu erläutern.
  • Welche Nebenbedingungen sind in diesem Punkt aktiv? Warum?
  • Überprüfen Sie die KKT Bedingungen im optimalen Punkt \((x_1^*, x_2^*)\). Dabei sollen Sie das Gleichungssystem lösen um die optimalen Lambda-Werte zu finden.